Andalan

Pos blog pertama

Ini adalah pos pertama Anda. Klik tautan Sunting untuk mengubah atau menghapusnya, atau mulai pos baru. Jika ingin, Anda dapat menggunakan pos ini untuk menjelaskan kepada pembaca mengenai alasan Anda memulai blog ini dan rencana Anda dengan blog ini.

pos

Iklan

Materi dan soal tentang pertidaksamaan kuadrat

PERTIDAKSAMAAN KUADRAT
Pertidaksamaan kuadrat adalah suatu pertidaksamaan yang variabelnya berpangkat paling tinggi 2.
Bentuk umum pertidaksamaan kuadrat dalam x dapat dinyatakan dengan salah satu bentuk di bawah ini :
+ bx + c > 0
+ bx + c= 0
+ bx + c < 0
+ bx + c= 0
dengan a, b, c dan x elemen R, dan
Sebelum kita membahas cara menyelesaikan pertidaksamaan kua- drat, perlu kita tinjau ulang pengertian tentang selang atau interval dan grafik fungsi kuadrat. Pengertian ini akan sangat membantu kita dalam menentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat.
1. Pengertian selang atau interval.
Selang atau interval adalah himpunan bagian bilangan real R. Sebuah selang (interval) dapat dilukiskan pada
garis bilangan real berbentuk ruas garis (segmen garis) yang ditandai lebih tebal pada selang (interval) yang
bersesuaian.
2. Pengertian Grafik Fungsi Kuadrat.
Grafik fungsi kuadrat berbentuk parabola dengan persamaan y = f(x) = ax2 + bx + c, dengan a, b, ce R dan
Sifat-sifat grafik fungsi kuadrat (parabola) adalah :
Jika a > 0, maka parabola terbuka ke atas, dan jika a < 0 parabola terbuka ke bawah.
Memotong sumbu X jika y = 0 atau ax2 + bx + c = 0, memotong sumbu Y jika x = 0 atau y = a.02 + b.0 + c
Titik potong dengan sumbu X ditentukan oleh nilai
Diskriminan (D = – 4.a.c).
a. Jika D > 0 parabola memotong sumbu X di dua titik
b. Jika D = 0 parabola menyinggung sumbu X.
c. Jika D < 0 parabola tidak memotong sumbu X.
Macam-macam grafik fungsi kuadrat (parabola) dapat dilihat dibawah ini :
a >0,fungsi definit positif
D<0,fungsi definit positif
a <0,fungsi definit negatif
D <0,fungsi definit negatif
Contoh :
Diketahui persamaan parabola y = – 7x + 10.
Tentukan sifat-sifat dan gambar grafik parabola di atas !
Jawab :
Pada persamaan parabola y = – 7x + 10 nilai a = 1, b = -7, dan c = 10 .
Karena nilai a = 1 ( a > 0), maka parabola terbuka ke atas.
D = – 4.a.c
= () – 4.1.10
= 49 – 40
= 9 .
Karena D = 9, (D > 0), maka parabola memotong sumbu X di dua titik.
Parabola memotong sumbu X jika y = 0 , maka – 7x + 10 = 0? (x – 2)(x – 5) = 0? x = 2 atau x = 5
Jadi parabola memotong sumbu X di titik (2 , 0) dan (5 , 0).
Parabola memotong sumbu Y, jika x = 0, maka :
Y =2 –(+1) =1
Gambar grafiknya buat sendiri dengan ketentuan y(0,10)
Kesimpulan :
Parabola y = – 7x +10, terbuka ke atas, memotong sumbu X di (2,0) dan (5,0), serta memotong sumbu Y di (0,10).
Menyelesaikan Pertidaksamaan Kuadrat dengan Sketsa Grafik Fungsi Kuadrat.
Langkah-langkah :
Memilih bagian grafik yang sesuai dengan pertidaksamaan kuadrat yang akan diselesaikan.
1. Tentukan nilai a ( ke mana parabola terbuka).
2. Tentukan titik potong dengan sumbu X.
3. Menggambar sketsa grafiknya.
Absis titik-titik pada bagian grafik yang terletak di atas sumbu X merupakan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan + bx + c >0 atau + bx + c= 0.
Absis titik-titik pada bagian grafik yang terletak di bawah sumbu X merupakan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan + bx + c < 0 atau + bx + c= 0

Kumpulan soal soal un

1. UAN 2003
Persamaan kuadrat (k + 2)x2 − (2k − 1)x + k − 1 = 0 mempunyai akar-akar nyata dan sama. Jumlah kedua akar persamaan tersebut adalah…
A.9\8

B.8\9

C.5\2

D.2\5

E.1\5

Pembahasan :
a = k + 2
b = −(2k − 1) = 1 − 2k
c = k − 1

Akar-akar nyata dan sama ⇒ D = 0
b2 − 4ac = 0
(1 − 2k)2 − 4(k + 2)(k − 1) = 0
1 − 4k + 4k2 − 4(k2 + k − 2) = 0
1 − 4k + 4k2 − 4k2 − 4k + 8 = 0
9 − 8k = 0
k =9/8

a = k + 2 =
9
8
+ 2 =
25
8

b = 1 − 2k = 1 − 2(
9
8
) =

5
4

Misalkan akar-akar PK diatas adalah α dan β, maka jumlah kedua akar-akarnya adalah
α + β =

b
a

α + β =

(

5
4
)
25
8

α + β =
2
5

Jawaban : D

2. UAN 2003
Jika akar-akar persamaan kuadrat 3×2 + 5x + 1 = 0 adalah α dan β, maka nilai
1\α²+1\β²
sama dengan…
A. 19
B. 21
C. 23
D. 34
E. 25

Pembahasan :
α + β =−b\a=−5\3

αβ =c\a
=
1
3

1
α
2
+
1
β
2
=
α
2
+
β
2
α
2
β
2

1
α
2
+
1
β
2
=
(
α
+
β
)
2

2
α
β
(
α
β
)
2

1
α
2
+
1
β
2
=
(

5
3
)
2

2
(
1
3
)
(
1
3
)
2

1
α
2
+
1
β
2
= 19

Jawaban : A

3. UN 2004
Persamaan kuadrat yang akar-akarnya 5 dan −2 adalah…
A. x2 + 7x + 10 = 0
B. x2 + 3x − 10 = 0
C. x2 − 7x + 10 = 0
D. x2 − 3x − 10 = 0
E. x2 + 3x + 10 = 0

Pembahasan :
α = 5
β = −2

x2 − (α + β)x + αβ = 0
x2 − (5 + (−2))x + 5(−2) = 0
x2 − 3x − 10 = 0

Jawaban : D

4. UN 2007
Persamaan kuadrat x2 − 5x + 6 = 0 mempunyai akar-akar x1 dan x2. Persamaan kuadrat yang akar-akarnya
x
1

3
dan
x
2

3
adalah…
A. x2 − 2x = 0
B. x2 − 2x + 30 = 0
C. x2 + x = 0
D. x2 + x − 30 = 0
E. x2 + x + 10 = 0

Pembahasan :
Cara I
Jumlah dan hasil kali akar PK awal :
x1 + x2 =

b
a
=

(

5
)
1
= 5
x1 x2 =
c
a
=
6
1
= 6

Misalkan akar-akar PK baru p dan q
p = x1 − 3
q = x2 − 3

Jumlah dan hasil kali akar PK baru :
p + q = (x1 − 3) + (x2 − 3)
p + q = x1 + x2 − 6
p + q = 5 − 6
p + q = −1

pq = (x1 − 3)(x2 − 3)
pq = x1 x2 − 3(x1 + x2) + 9
pq = 6 − 3(5) + 9
pq = 0

PK baru :
x2 − (p + q)x + pq = 0
x2 − (−1)x + 0 = 0
x2 + x = 0

Cara II
Akar-akar PK baru : x1 – 3 dan x2 – 3

x2 − 5x + 6 = 0
(x + 3)2 − 5(x + 3) + 6 = 0
x2 + 6x + 9 − 5x − 15 + 6 = 0
x2 + x = 0

Jawaban : C

5. UN 2009
Akar-akar persamaan x2 + (2a − 3)x + 18 = 0 adalah p dan q. Jika p = 2q, untuk p > 0, q > 0. Nilai a − 1 = …
A. −5
B. −4
C. 2
D. 3
E. 4

Pembahasan :
a = 1 ; b = 2a − 3 ; c = 18
p = 2q

pq =
c
a

(2q)q =
18
1

q2 = 9
q = ±3
Karena q > 0, maka q = 3

p + q =

b
a

(2q) + q =

2
a

3
1

3q = 3 − 2a
3(3) = 3 − 2a
a = −3

Jadi, a − 1 = −4

Jawaban : B

6. UN 2009
Persamaan kuadrat 3×2 + 6x − 1 = 0 mempunyai akar α dan β. Persamaan kuadrat baru yang akarnya 1 − 2α dan 1 − 2β adalah…
A. 3×2 − 18x − 37 = 0
B. 3×2 − 18x + 13 = 0
C. 3×2 − 18x + 11 = 0
D. x2 − 6x − 37 = 0
E. x2 − 6x + 11 = 0

Pembahasan :
Akar-akar PK baru dapat ditulis menjadi
−2α + 1 dan −2β + 1

3×2 + 6x − 1 = 0
3(x – 1)2 + 6(-2)(x – 1) − 1(−2)2 = 0
3(x2 − 2x + 1) − 12(x − 1) − 4 = 0
3×2 − 6x + 3 − 12x + 12 − 4 = 0
3×2 − 18x + 11 = 0

Jawaban : C

7. UN 2010
Akar-akar persamaan kuadrat 2×2 + mx + 16 = 0 adalah α dan β. Jika α = 2β dan α, β positif, maka nilai m = …
A. −12
B. −6
C. 6
D. 8
E. 12

Pembahasan :
a = 1 ; b = m ; c = 16
α = 2β

αβ =
c
a

(2β)β =
16
2

β2 = 4
β = ±2
karena β positif maka β = 2

α + β =

b
a

(2β) + β =

m
2

3β =

m
2

3(2) =

m
2

m = −12

Jawaban : A

8. UN 2010
Jika p dan q adalah akar-akar persamaan x2 − 5x − 1 = 0, maka persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya 2p + 1 dan 2q + 1 adalah…
A. x2 + 10x + 11 = 0
B. x2 − 10x + 7 = 0
C. x2 − 10x + 11 = 0
D. x2 − 12x + 7 = 0
E. x2 − 12x − 7 = 0

Pembahasan :
Akar-akar PK baru
2p + 1 dan 2q + 1

x2 − 5x − 1 = 0
(x – 1)2 – 5(2)(x – 1) – 1(22) = 0
x2 − 2x + 1 − 10x + 10 − 4 = 0
x2 − 12x + 7 = 0

Jawaban : D

9. UN 2011
Akar-akar persamaan 3×2 − 12x + 2 = 0 adalah α dan β. Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya (α + 2) dan (β + 2) adalah…
A. 3×2 − 24x + 38 = 0
B. 3×2 + 24x + 38 = 0
C. 3×2 − 24x − 38 = 0
D. 3×2 − 24x + 24 = 0
E. 3×2 − 24x − 24 = 0

Pembahasan :
Akar-akar PK baru
(α + 2) dan (β + 2)

3×2 – 12x + 2 = 0
3(x – 2)2 − 12(x – 2) + 2 = 0
3(x2 − 4x + 4) − 12(x − 2) + 2 = 0
3×2 − 12x + 12 − 12x + 24 + 2 = 0
3×2 − 24x + 38 = 0

Jawaban : A

10. UN 2012
Akar-akar persamaan kuadrat x2 + ax − 4 = 0 adalah p dan q. Jika p2 − 2pq + q2 = 8a, maka nilai a = …
A. −8
B. −4
C. 4
D. 6
E. 8

Pembahasan :
a = 1 ; b = a ; c = −4

Jumlah dan hasil kali akar-akar :
p + q =

b
a
=

a
1
= −a
pq =
c
a
=

4
1
= −4

p2 − 2pq + q2 = 8a
p2 + q2 − 2pq = 8a
(p + q)2 − 2pq − 2pq = 8a
(p + q)2 − 4pq = 8a
(−a)2 − 4(−4) = 8a
a2 − 8a + 16 = 0
(a − 4)(a − 4) = 0
a = 4

Jawaban : C

Materi fungsi kuadrat dan grafik

Fungsi kuadrat

Fungsi kuadrat adalah suatu persamaan dari variabel yang mempunyai pangkat tertinggi dua. Fungsi ini berkaitan dengan persamaan kuadrat. Bentuk umum persamaan kuadrat adalah:

ax^2 + bx + c = 0

Sedangkan bentuk umum dari fungsi kuadrat adalah:

f(x) = ax^2 + bx + c

Fungsi kuadrat f(x) dapat juga ditulis dalam bentuk y atau:

y = ax^2 + bx + c

Dengan x adalah variable bebas dan y adalah variable terikat. Sehingga nilai y tergantung pada nilai x, dan nilai-nilai x tergantung pada area yang ditetapkan. Nilai y diperoleh dengan memasukan nilai-nilai x kedalam fungsi.

Grafik Fungsi Kuadrat
Fungsi kuadrat y = ax^2 + bx + c dapat digambarkan ke dalam koordinat kartesius sehingga diperoleh suatu grafik fungsi kuadrat. Sumbu x adalah domain dan sumbu y adalah kodomain. Grafik dari fungsi kuadrat berbentuk seperti parabola sehingga sering disebut grafik parabola.

Grafik dapat dibuat dengan memasukan nilai x pada interval tertentu sehingga didapat nilai y. Kemudian pasangan nilai (x, y) tersebut menjadi koordinat dari yang dilewati suatu grafik. Sebagai contoh, grafik dari fungsi: f(x) = x^2 – 2x – 3 adalah:

Menyusun Persamaan Grafik Fungsi Kuadrat
Persamaan grafik fungsi kuadrat dapat dibentuk dengan syarat:

Diketahui tiga titik koordinat (x, y) yang dilalui oleh grafik
Ketiga koordinat tersebut, masing-masing disubstitusikan kedalam persamaan grafik:

y = ax^2 + bx + c

Sehingga didapat tiga persamaan berbeda yang saling memiliki variabel a, b dan c. Selanjutnya dilakukan teknik eliminasi aljabar untuk memperoleh nilai dari a, b dan c. Setelah diperoleh nilai-nilai itu, kemudian masing-masing disubstitusikan ke dalam persamaan y = ax^2 + bx + c sebagai koefisien.

Diketahui titik potong dengan sumbu x dan satu titik yang dilalui
Jika titik potong sumbu x adalah (x_1,0) dan x_2,0, maka rumus fungsi kuadrat nya adalah:

y = a(x – x_1)(x – x_2)

Dengan nilai a didapat dari mensubstitusikan titik (x, y) yang dilalui.

Diketahui titik puncaknya dan satu titik yang dilalui
Jika titik puncaknya adalah (x_p,y_p), maka rumus fungsi kuadrat nya adalah:

y = a(x – x_p)^2 + y_p

Dengan nilai a didapat dari mensubstitusikan titik (x, y) yang dilalui

berikut kumpulan soal soal un

1. UN 2008
Persamaan grafik fungsi kuadrat yang mempunyai titik balik minimum (1, 2) dan melalui titik (2, 3) adalah…
A. y = x2 − 2x + 1
B. y = x2 − 2x + 3
C. y = x2 − 2x − 1
D. y = x2 + 2x + 1
E. y = x2 − 2x − 3

Pembahasan :
Diketahui titik balik (xp, yp) = (1, 2)
dan melalui titik (x, y) = (2, 3)
y = a(x − xp)2 + yp
3 = a(2 − 1)2 + 2
3 = a + 2
⇒ a = 1

y = 1 (x − 1)2 + 2
y = x2 − 2x + 1 + 2
y = x2 − 2x + 3

Jawaban : B

2.UN 2008
Jika m > 0 dan grafik f(x) = x2 − mx + 5 menyinggung garis y = 2x + 1, maka nilai m = …
A. −6
B. −2
C. 6
D. 2
E. 8

Pembahasan :
Misalkan :
y1 = x2 − mx + 5
y2 = 2x + 1

y1 = y2
x2 − mx + 5 = 2x + 1
x2 − mx − 2x + 5 − 1 = 0
x2 − (m + 2)x + 4 = 0

a = 1
b = −(m + 2)
c = 4

Parabola menyinggung garis ⇒ D = 0
b2 − 4ac = 0
(−(m + 2))2 − 4 (1) (4) = 0
m2 + 4m + 4 − 16 = 0
m2 + 4m − 12 = 0
(m + 6)(m − 2) = 0
m = −6 atau m = 2

Karena m > 0, maka m = 2

Jawaban : D

3. UN 2010
Grafik fungsi kuadrat f(x) = x2 + bx + 4 menyinggung garis y = 3x + 4. Nilai b yang memenuhi adalah…
A. −4
B. −3
C. 0
D. 3
E. 4

Pembahasan :
Misalkan :
y1 = x2 + bx + 4
y2 = 3x + 4

y1 = y2
x2 + bx + 4 = 3x + 4
x2 + bx − 3x = 0
x2 + (b − 3)x = 0

a = 1
b = b − 3
c = 0

Parabola menyinggung garis ⇒ D = 0
b2 − 4ac = 0
(b − 3)2 − 4(1)(0) = 0
(b − 3)2 = 0
b = 3

Jawaban : D

4. UN 2011
Grafik y = px2 + (p + 2)x − p + 4 memotong sumbu X di dua titik. Batas-batas nilai p yang memenuhi adalah…
A. p < −2 atau p >

2
5

B. p <
2
5
atau p > 2
C. p < 2 atau p > 10
D.
2
5
< p < 2
E. 2 < p < 10

Pembahasan :
a = p
b = p + 2
c = −p + 4

Parabola memotong sumbu-x di dua titik :
D > 0
b2 − 4ac > 0
(p + 2)2 − 4(p)(−p + 4) > 0
p2 + 4p + 4 + 4p2 − 16p > 0
5p2 − 12p + 4 > 0

Pembuat nol :
5p2 − 12p + 4 = 0
(5p − 2)(p − 2) = 0
p =
2
5
atau p = 2

Pertidaksamaan bertanda “>”, maka :
HP = {p <
2
5
atau p > 2}

Jawaban : B

5. UN 2013
Nilai m yang menyebabkan fungsi kuadrat f(x) = (m + 1)x2 − 2mx + m − 3 definit negatif adalah…
A. m <

3
2

B. m < −1
C. m >
3
2

D. m > 1
E. 1 < m <
3
2

Pembahasan :
a = m + 1
b = −2m
c = m − 3

Syarat definit negatif :
a < 0
m + 1 < 0
m < −1 …………………..(1)

D < 0
b2 − 4ac < 0
(−2m)2 − 4(m + 1)(m − 3) < 0
4m2 − 4(m2 − 2m − 3) < 0
4m2 − 4m2 + 8m + 12 < 0
8m + 12 < 0
8m < −12
2m < −3
m <

3
2
…………………..(2)

Irisan (1) dan (2) :
m <

3
2

Jawaban : A

6. UN 2013
Fungsi f(x) = 2×2 − ax + 2 akan menjadi fungsi definit positif bila nilai a berada pada interval…
A. a > −4
B. a > 4
C. −4 < a < 4
D. 4 < a < 6
E. −6 < a < 4

Pembahasan :
a = 2
b = −a
c = 2

Syarat definit positif :
a > 0
2 > 0 (memenuhi)

D < 0
b2 − 4ac < 0
(−a)2 − 4(2)(2) < 0
a2 − 16 < 0

Pembuat nol :
a2 − 16 = 0
(a + 4)(a − 4) = 0
a = −4 atau a = 4

Pertidaksamaan bertanda “<“, maka :
HP = {−4 < a < 4}

Jawaban : C

7. UN 2016
Diketahui fungsi f(x) = (a + 1)x2 − 2ax + a − 2 definit negatif. Nilai a yang memenuhi adalah…
A. a < 2
B. a > −2
C. a < −1
D. a < −2
E. a > 1

Pembahasan :
a = a + 1
b = −2a
c = a − 2

Syarat definit negatif :
a < 0
a + 1 < 0
a < −1 …………………………..(1)

D < 0
b2 − 4ac < 0
(−2a)2 − 4(a + 1)(a − 2) < 0
4a2 − 4(a2 − a − 2) < 0
4a2 − 4a2 + 4a + 8 < 0
4a + 8 < 0
4a < −8
a < −2 …………………………….(2)

Irisan (1) dan (2) :
a < −2

Jawaban : D

8. UN 2017
Jika grafik fungsi y = 2×2 + (p – 1)x + 2 menyinggung sumbu X, nilai p yang memenuhi adalah …
A. p = 5 atau p = 2
B. p = -5 atau p = 2
C. p = 5 atau p = 3
D. p = -5 atau p = 3
E. p = 5 atau p = -3

Pembahasan :
Dari grafik fungsi diatas diperoleh :
a = 2, b = p – 1 dan c = 2

Grafik menyinggung sumbu X, maka D = 0.
b2 − 4ac = 0
(p – 1)2 − 4(2)(2) = 0
p2 − 2p + 1 – 16 = 0
p2 − 2p – 15 = 0
(p – 5)(p + 3) = 0
p = 5 atau p = -3

Jawaban : E
Diberikan fungsi sebagai berikut :
f(x) = 2 – 3x
4x + 1
Dengan x ≠ -1/4.

9.UN 2017

Jika f-1(x) invers dari fungsi f(x), maka f-1(x – 2) adalah ….
A. 4 – x ; x ≠ 5/4
4x – 5
B. -x – 4 ; x ≠ 5/4
4x – 5
C. -x + 2 ; x ≠ -3/4
4x + 3
D. x ; x ≠ -3/4
4x + 3
E. -x ; x ≠ -5/4
4x + 5

Pembahasan :
Untuk menjawab soal ini, kita harus mencari invers f(x) terlebih dahulu.

Pertama, anggap f(x) = y sebagai berikut :
⇒ y = 2 – 3x
4x + 1

Kita tentukan x nya :
⇒ y(4x + 1) = 2 – 3x
⇒ 4xy + y = 2 – 3x
⇒ 4xy + 3x = 2 – y
⇒ (4y + 3)x = 2 – y
⇒ x = 2 – y
4y + 3

Selanjutnya kita ubah x menjadi y-1 dan y menjadi x sehingga kita peroleh inversnya sebagai berikut :
⇒ y-1 = 2 – x
4x + 3
⇒ f-1(x) = 2 – x
4x + 3

Selanjutnya kita tentukan f-1(x – 2) dengan cara mensubstitusikan x = x – 2 :
⇒ f-1(x – 2) = 2 – (x – 2)
4(x – 2) + 3
⇒ f-1(x – 2) = 2 + 2 – x
4x – 8 + 3
⇒ f-1(x – 2) = 4 – x
4x – 5
Dengan x ≠ 5/4

10.UN 2016

Persamaan bayangan parabola y = x2 + 4 karena rotasi dengan pusat O(0,0) sejauh 180o adalah …
x = y2 + 4
x = -y2 + 4
x = -y2 – 4
y = -x2 – 4
y = x2 + 4

Pembahasan :
Parabola y = x2 + 4 karena rotasi dengan pusat O(0,0) sejauh 180o:

– x’ – = – -1 0 – . – x –
y’ 0 -1 y

Sesuai dengan konsep perkalian matriks, kita peroleh :

– x’ – = – -x –
y’ -y

Berdasarkan prinsip kesamaan matriks, maka berlaku :
⇒ x’ = -x
⇒ x = -x’

Selanjutnya :
⇒ y’ = -y
⇒ y = -y’

Dengan demikian persamaan bayangannya adalah :
⇒ y’ = x’2 + 4
⇒ -y = (-x)2 + 4
⇒ -y = x2 + 4
⇒ y = -x2 – 4